.
8. Рівняння прямої, що проходить через дану точку (х1,у1):
у-у1=к(х-х1)
9. Рівняння прямої, що проходить через дві точки (х1,у1) і (х2,у2):
10. Рівняння прямої, що відтинає відрізки а і в на осях координат:
11. Загальне рівняння прямої:
Ах+Ву+С=0, (А2+В2(0).
12. Відстань від точки (х1,у1) до прямої Ах+Ву+С=0:
13. Рівняння кола з центром (х0,у0) і радіусом R:
(х-х0)2+(у-у0)2=R2
14. Канонічне рівняння еліпса з півосями а і в:
(1)
Фокуси еліпса F(c;0) i F/(-c;0), де с2=а2-в2
15. Фокальні радіуси точки (х,у) еліпса (1):
r=a-Ex; r/=a+Ex,
– ексцентриситет еліпса.
16. Канонічне рівняння гіперболи з півосями а і в:
(2)
2
нерівностями a(x(b, y1(x)(y(y2(x), z1(x, y)(z(z2(x, y)
де yi(x), zі(x, y), (і=1, 2) – неперервні функції, то потрійний інтеграл
в прямокутних координатах від неперервної функції f(x, y z) можна
обчислити за формулою:
.
Для заміток.
І. Аналітична геометрія на площині.
1. Паралельне перенесення системи координат:
х’=х-а, у’=у-в,
де О’ (а;в) – новий початок, (х;у) – старі координати точки, [х’;у’] –
її нові координати.
2. Поворот системи координат (при нерухомому початку):
х= х’cos(- у’sin(; y= x’sin(+ y’cоs(,
де (х,у) – старі координати точки, [х’,у’] – її нові координати, ( – кут
повороту.
3. Відстань між точками (х1,у1) і (х2,у2):
4. Координати точки, що ділить відрізок з кінцями (х1,у1) і (х2,у2) в
даному відношенні (:
.
При (=1, маємо координати середини відрізка:
.
5. Площа трикутника з вершинами (х1,у1), (х2,у2) і (х3,у3):
.
6. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:
у=кх+в,
де к=tg( (кутовий коефіцієнт) – нахил прямої до осі Ох,
в – довжина відрізка, що відтинає пряма на осі Оу.
– тангенс кута між прямими з кутовими коефіцієнтами к і к/.
Умова паралельності прямих: к/=к.
1
24. Параметричні рівняння еліпса з півосями а і в:
x=a cos t, y=b sin t.
25. Параметричні рівняння циклоїди:
x=a(t-sin t), y=a(1-cos t).
II. Диференціальне числення функцій
однієї змінної.
Основні теореми про границі:
Чудові границі:
3. Зв’язок між десятковими та натуральними логарифмами:
lg x=М ln x, де М=lg e=0,43429…
аргументу х:
5. Умова неперервності функції у=f(x):
Основна властивість неперервної функції:
6. Похідна
Геометрично y /=f /(x) – кутовий коефіцієнт дотичної до
4
XI. Подвійні та потрійні інтеграли.
1. Подвійним інтегралом від функції f(x, y), розповсюдженим на область
S, називається число:
, (1)
де (хі, уі) є (Si (і=1, 2,…n) і d – найбільший діаметр комірок (Si.
Якщо f(x, y)(0, то геометрично інтеграл (1) являє собою об’єм прямого
циліндроїда, побудованого на основі S і обмеженого зверху поверхнею
z=f(x, y).
2. Якщо область інтегрування S стандартна відносно осі Оу і визначається
нерівностями a(x(b, y1(x)(y(y2(x),
де y1(x),y2(x) – неперервні функції, то подвійний інтеграл в прямокутних
декартових координатах від неперервної фуункції f(x, y) виражається
формулою:
.
3. Подвійний інтеграл в полярних координатах ( і r,
де x=r cos(, y=rsin( має вигляд:
Якщо область інтегрування S визначається нерівностями:(((((,
r1(()(r(r2((), то
4. Якщо (=((х, у) – поверхнева густина пластини S, то її
(2)
25
5. Статистичні моменти пластинки S відносно координатних осей Ох,Оу
виражаються інтегралами:
де (=((х, у) – поверхнева густина пластинки S.
6. Координати центра мас пластинки S визначаються за
, (3)
де m – маса пластинки.
Для однорідної пластинки в формулах (2), (3) приймаємо (=1.
7. Моменти інерції пластинки S відносно координатних осей Ох і Оу
виражається інтегралами:
,
де (=((х, у) – поверхнева густина пластинки.
8. Потрійним інтегралом від функції f(x, y z), розповсюдженим на область
V, називається число:
, (4)
де (xi, yi, zi) є (Vi (i=1, 2, 3,…n), d – найбільший діаметр комірок
(Vi .
Якщо f(x, y z) є густиною в точці (x, y z), то потрійний інтеграл (4)
являє собою масу, що заповнює об(єм V.
.
10. Якщо область інтегрування V визначається
26
Фокуси гіперболи F(c;0) і F/(-c;0), де с2=а2+в2
17. Фокальні радіуси точки (х,у) гіперболи (2):
r=((Ex-a), r/=((Ex+a),
– ексцентриситет гіперболи.
18. Асимптоти гіперболи (2):
.
19. Графік оберненої пропорційності
ху=с (с(0)
– рівностороння гіпербола з асимптотами х=0, у=0.
20. Канонічне рівняння параболи з параметром р:
у2=2рх
Фокус параболи: F(p/2, 0): рівняння директриси: х=-(р/2); фокальний
радіус точки (х,у) параболи: r=x+(p/2).
21. Графік квадратного тричлена
у=Ах2+Вх+С
вертикальна парабола з вершиною
22. Полярні координати точки з прямокутними координатами х і у:
Прямокутні координати точки з полярними координатами
( і (.
x=( cos(, y=( sin(.
23. Параметричні рівняння кола радіуса R з центром в початку координат:
x=R cos t, y=R sin t. (t – параметр)
3
f(/(x0)=0 або f(/(x0) не існує.
б) Достатні умови екструмуму функції f(x) в точці x0:
f(/(x0)=0, f(/(x0-h1)f(/(x0+h2)0 і
h2>0, або
f(/(x0)=0, f((/(x0)(0
12. – Графік функції y=f(x) вгнутий (або випуклий вниз) якщо
f((/(x)>0 i випуклий (випуклий вверх), якщо f((/(x)0, h2>0.
13. Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [(,(] і f(()f(()0 (метод дотичних).
14. Диференціал незалежної змінної х: dx=?x. Диференціал функції
у=f(x):dy=y(dx. Зв’язок приросту ?y функції з диференціалом dy функції:
?y=dy+(?x, де (?0 при ?х?0.
Таблиця диференціалів функцій.
6
9. Таблиця 2.
Характер частинного розв(язку z-неоднорідного рівняння у((+ру(+qy=f(x)
(p i q – сталі) в залежності від правої частини f(x).
№ п/п Права частина f(x) Випадки Частинний розв(язок
1
f(x)=aemx (a,m – сталі) m2+pm+q(0,
m2+pm+q=0:
p2-4q>0,
p2-4q0, і спадає, якщо f((x)0).
;
(a>0, a(1).
.
7
де h=(b-a)/n, x0=a, xn=b, y=f(x), yi=f(x0+ih), (i=0,1,2,…,n).
де h=(b-a)/2.
.
.
15. Довжина дуги гладкої кривої y=f(x) в прямокутних координатах х і у
від точки х=а до точки х=b (a0) існує
Тоді: а) Якщо l 1, то ряд розбігається, Un непрямує до 0.
також збігається (абсолютно).
, то знакозмінний ряд V1-V2+V3-V4+… – збігається.
, якщо остання має зміст.
18
.
19. Об’єм тіла обертання:
(a 0, і протилежний до нього, якщо k
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter